官方双语微积分的本质 来学习怎么运算吧

1、两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。先说求导。对于函数f(x)，它的导函数（即求导运算的结果，简称导数）记作f′(x)。简单来说，f′(x0)就是f(x)在x0这点的切线斜率。即，f′(x)是f(x)的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用dx表示变量x的变化量（dy表示变量y的变化量，以此类推），且dx趋近于0。那么对于x0和它的函数值f(x)=y，设当x增加了dx时y增加了dy。由于这个变化量是「微小」（趋近于0）的，所以x和x+dx之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是dydx。因此，有时也把导函数写成f′(x)=dydx。

注意，不同的x会造成dy取不同的值。有点懵？先从最简单的例子，一次函数说起。显然，无论x如何改变，也无论dx取何值（哪怕不趋近于0），dydx都是一个定值，即这个一次函数的斜率k（换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数f′(x)=k。

再举一个稍复杂的例子。对于f(x)=x2，可以这样求出它的导函数：f′(x)=dydx=f(x+dx)?f(x)dx=(x+dx)2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于dx趋近于0，所以f′(x)=2x。于是我们成功算出了f(x)=x2的导数是f′(x)=2x。不妨再拓展一下，证明f(x)=xk的导数是f′(x)=kxk?1。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：f′(x0)=f(x0+dx)?f(x0)dx=(x0+dx)k?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1。

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了dx趋近于0，所以只有k?i?1=0即i=k?1这一项是非0的！激动.jpg。所以，f′(x0)=kxk?10。x0是任意的，所以f′(x)=kxk?1。

2、导数的加减：h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=f′(x)+g′(x)。设yf=f(x)，yg=g(x)，yh=h(x)（类似的记号下面不再赘述），同时别忘了f′(x)=dyfdx，g′(x)=dygdx，则有：∵yh=yf+yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)+(yg+dyg)∴dyh=dyf+dyg=f′(x)dx+g′(x)dx=(f′(x)+g′(x))dx两边同时除以dx，得到h′(x)=dyhdx=f′(x)+g′(x)。

3、导数的乘法：h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)口诀：「左乘右导，右乘左导」证明如下：∵yh=yf?yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)?(yg+dyg)∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x)?g′(x)dx+g(x)?f′(x)dx+f′(x)dx?g′(x)dx两边同时除以dx得：h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)+f′(x)g′(x)dx同样，带dx的项趋近于0，因此h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)。

4、链式法则：若h(x)=f(g(x))，则h′(x)=f′(g(x))?g′(x)。当自变量从x0变成x0+dx，则yf的变化量是f′(x0)dx。现在，g的自变量的变化量是dx，yg的变化量是g′(x)dx，所以yf的变化量是f′(g(x))?g′(x)dx（注意f的自变量的初值是g(x)不是x）。因此h′(x)=f′(g(x))?g′(x)。

5、导数的除法：若h(x)=f(x)g(x)，则h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

6、证明：∵yh=yfyg,(yh+dyh)=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf)?yf(yg+dyg)yg(yg+dyg)=g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx?f(x)g(x)?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx=g(x)f′(x)dx?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx。两边同时除以x，得到：h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2+g(x)g′(x)dx，由于dx趋于0，所以：h′(x)=g(x、f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。